在一个古老的印度寓言中，六个盲人各自摸到了大象的不同部分。他们对大象的样子意见不一：它是光滑的还是粗糙的？它像蛇（摸到象鼻的人认为）还是扇子（摸到象耳的人认为）？如果盲人能综合他们的见解，他们可能就能正确描述大象的特征。然而，他们最终却陷入了争吵。

　　几十年来，拓扑学家一直希望避免陷入类似的陷阱。他们认为可以通过综合大量的局部测量来表征数学形状。但新发现的、看似矛盾的弯曲空间表明，情况并非总是如此。“事情可能比我们想象的要复杂得多，”意大利博科尼大学的埃利亚·布鲁埃（Elia Bruè）说，他与另外两位数学家合作证明了这一点。

　　拓扑学家对他们所研究的形状进行拉伸和压缩。从拓扑学的角度来看，一条无限细的橡皮筋等同于一个圆，因为你可以很容易地将它变形为圆形。拓扑学家倾向于根据形状的整体性质来表征它们：它们是否有孔洞，像甜甜圈？它们是否无限延伸，像无限平面，或者它们是否拓扑“紧”（compact）的，像球面的曲面？它们的“直线”是否无限延伸——使它们成为数学家所说的“完备”（complete）——还是有尽头？

　　但就像寓言中的大象一样，很难直接感知拓扑形状的整体性质。因此，数学家希望了解它们与局部几何性质的关系，比如曲率。提供一个形状在每个点处如何弯曲的信息，你能说出它的整体拓扑结构吗？

　　1968年，当时在普林斯顿大学的著名数学家约翰·米尔诺（John Milnor，1931 -）猜测，一个完备形状的平均曲率足以告诉我们它不可能有无限多个洞。在接下来的50年里，许多结果都支持了他的说法。“你很容易相信它是真的，因为在很多实际情况下它都是真的，”纽约大学柯朗研究所的杰夫·切格尔（Jeff Cheeger）说。“而且，你究竟如何才能构造出一个反例呢？”

　　在这个数学领域，多伦多大学的维塔利·卡波维奇（Vitali Kapovitch）说，“米尔诺猜想可能是最大的未解决问题。”

　　因此，在2020年，布鲁埃和两位同事着手证明它。他们最终找到了一个反例 ——并在这个过程中构建了一种全新的拓扑形状。“这是一项了不起的工作，”切格尔说。“一个里程碑。”

　　两者都研究流形（manifold，即放大后看起来是平坦的空间）。一只在球面、甜甜圈或其他二维流形曲面上的小蚂蚁，会感觉到它的紧邻区域与二维平面没有什么不同。但是，如果蚂蚁向任何方向移动一点，它可能会注意到空间开始发生变化或弯曲。局部平坦流形的概念很容易推广到更高维度。但曲率更难定义。

　　以最简单的情况为例：一个一维物体，比如一个圆。令人惊讶的是，这些一维空间在数学意义上不能被内在地弯曲。一个沿着圆行走的一维几何学家，无法感知到超过一维的东西，会认为她在走直线——当她发现自己在往回走时会感到惊讶。

　　但是，如果你将一个圆嵌入到二维平面中，很明显它具有恒定的、正的外在曲率。（这里的相关区别在于内在和外在曲率：你被困在空间内部之所见 vs 你从外部看它时之所见）。

　　较小的圆在你移动它们时弯曲得更快，因此具有更高的外在曲率；较大的圆具更低的曲率。（从这个意义上说，一条直线就像一个无限大的圆。它的曲率为零，表明它是完全平坦的。）我们也可以将这个定义应用于具有变化曲率的更复杂形状，通过考虑在任何给定点上匹配该形状所需的圆的大小。这样，曲率就是一个局部性质：流形上的每一点都有一个相关联的曲率。

　　对于一个曲面——一个二维流形——有许多方法可以放置圆，使它们与曲面上的曲线相匹配。在给定的点上，你可以通过在该点放置一个适当大小的圆来测量曲率，该圆的大小与曲面在该点的曲率相匹配。然而，令人惊讶的是，在该点处曲面的曲率可以用一个数字来定义。如果你找到给出最大和最小曲率值的方向，并将这些值相乘，你就得到一个叫做高斯曲率（Gaussian curvature）的数字。这个数字以一种有用的方式总结了关于曲面如何弯曲的信息。更令人惊讶的是，高斯曲率是一个内在性质（intrinsic property 内禀性质）：它不依赖于曲面可能被放置的任何更高维背景空间。从这个意义上说，这看起来有点荒谬，尽管球面是内在弯曲的，但是圆柱面不是。

　　在曲面上的每一点上，曲率可以沿不同方向变化。将最大曲率和最小曲率相乘，得到一个信息量，称为高斯曲率。

　　例如，假设在一个二维流形上的每一点，高斯曲率都是正的。那么拓扑学家可以证明它不可能像甜甜圈那样有洞。（它要么是球面这种标准曲面，要么是另一种具有更复杂的可能性的曲面。）另一方面，如果在每一点，高斯曲率都是零，那么有两种可能的解，一种是有洞的，一种是没有洞的：流形可能是平的，像无限平面，但它也可能是一个圆柱面或一个莫比乌斯带（Möbius strip）。圆柱面与无限平面的不同之处在于它中间有一个洞。而莫比乌斯带与圆柱面的不同之处在于它包含了扭曲（twist）。

　　在三个或更多维度中，通常不再可能用一个数字来捕捉关于曲率的有用信息。数学家们转而使用“张量”（tensor）来跟踪曲率，张量可以被看作是一个数字数组，它根据特定的数学规则进行变换。有几种不同的方法可以用张量来描述流形的曲率，但最重要的一种是所谓的里奇张量（Ricci张量）。像高斯曲率一样，它将基本信息提炼成一种（相对）更简单的形式。

　　与数字不同，张量不能被整齐地排序——但与数字一样，如果满足某个特定的属性，张量可以被归类为“非负”（nonnegative）的。1968年，米尔诺猜测，Ricci张量在每一点都非负的完备流形不可能有无限多个洞（如下方右图所示）。

　　具有一个洞的流形（左上角）、三个洞的流形（左下角）以及无限多个洞的流形（右）。

　　50多年后，布鲁埃与西北大学的亚伦·纳伯（Aaron Naber）和苏黎世联邦理工学院的达尼埃莱·塞莫拉（Daniele Semola）共同证明他的这一猜想错了。

　　当米尔诺提出他的猜想时，数学家们才刚刚开始探索Ricci曲率的影响，这种曲率在整个数学和物理学中反复出现。“当时人们对此一无所知，除了可以定义它，”纳伯说。

　　在随后的几十年里，数学家们填补了这一空白，构建了例子并发展了更具体的理论。所有的证据似乎都指向米尔诺的猜想是正确的。

　　这个猜想对于一维流形来说非常容易证明。它在二维情况下自1930年代以来就被知道是正确的。并且在2013年，它被证明对于三维流形是正确的 。如果你施加一些额外的限制——例如，假设你总是在处理一个封闭且有界的流形，比如一个球面，或者体积以特定的速率增长的流形——米尔诺猜想在所有维度上都成立。并且在1978年，一位名叫米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Gromov,1943 -）的数学家证明 ，如果流形上的一个不同的、更详细的曲率度量总是非负的，那么此流形一定只有有限个洞。

　　纳伯曾多次尝试在不做任何额外假设的情况下证明这个猜想的全部——适用于所有可能的维度。他失败了。后来，在2019年的一次会议上，他遇到了布鲁埃和塞莫拉，当时他们都是比萨高等师范学校的研究生，他们三人开始合作解决一个不同的问题。到2020年11月，他们解决了那个问题，布鲁埃和塞莫拉也获得了博士学位。于是他们三人决定再尝试一次证明米尔诺的猜想。

　　“我们花了令人尴尬的大量时间试图证明它，”纳伯说。这包括写了一篇80页的证明，结果是错误的——“这是我个人曾经在某件事情失败之前写的最长的一篇。”

　　但它的失败让数学家们获得了启示。“当我们意识到这个策略有缺陷时，我们就开始相信也许有余地可以构建一个反例，”塞莫拉说。

　　从那里开始，事情进展得更顺利了。在几个月的时间里，三人组想出了如何构建一个奇怪的七维流形。他们通过将无限多个七维部分以微妙而复杂的方式粘在一起，逐步组装出他们所需的整个流形。同时，他们必须确保Ricci曲率始终保持非负。并且他们必须避免意外地满足米尔诺的猜想已经被证明为真的许多性质。数学家们最终得到了他们所谓的一种光滑分形雪花——一种无限而微妙的自相似结构。

　　它在每一点上都有非负的Ricci曲率。而且它有无限多个洞。他们已经证明了米尔诺的猜想是错误的。

　　“这比之前所有具有非负Ricci曲率的流形的构造都要复杂，”加州大学圣巴巴拉分校的魏国芳（Guofang Wei）说。

　　布鲁埃、纳伯和塞莫拉，都是几何学家，后来与几位拓扑学家分享了他们的工作，拓扑学家告诉他们，令其惊讶的是，他们创造了一个全新的拓扑空间。而且这并不是因为七维有什么特别之处。使用类似的技术，三人组能够在更高维度的空间（他们说这很容易）以及在六维空间（这很难 ）中构建类似的反例。目前还没有人知道在四维或五维空间中是否存在反例。

　　由于非负Ricci曲率是一个在数学和物理学中经常出现的条件，“人们希望对这些事情有一定的内在控制，”纳伯说。但事实证明，具有非负Ricci曲率的形状比数学家们预期的更灵活，行为表现性质也更不良好——这使他们对局部几何性质和整体拓扑结构之间的关系的理解更加复杂。

　　在发现新的反例之前，“你多少会希望对所有流形的样子都获得真正理解，”西北大学的本·温克夫（Ben Weinkove）说。但现在，“可能性的潘多拉魔盒已被打开。”